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大家都知道,灰姑娘穿了雙玻璃鞋去參加舞會;然而穿玻璃鞋的實際可操作性尚有待考證。鞋跟的安全高度取決於灰姑娘穿著它純站著、或是得行走、奔跑。

如果純站著,鞋跟不管多高都沒問題;如果需要穿上它行走,那麼鞋跟高度只能在3.44cm到13.8cm之間;如果穿著它邁開腳步奔跑,那麼鞋跟高度只能在1.15cm到4.16cm之間。由於午夜時分,灰姑娘是跑著離開王子的,那麼鞋跟的安全高度應該為1.15,這可比平時相關作品裡的描述矮多了。

根據眾多灰姑娘故事不同版本的描述,灰姑娘的神仙教母給了她一雙玻璃鞋。灰姑娘穿上這雙鞋去參加舞會,對的,就是那場午夜時分她逃離王子懷抱的很有名的舞會。我們姑且假設:製成這雙鞋的玻璃是鈉鈣玻璃–這是一種常見的玻璃。考慮到這種玻璃很易碎,它承受不了塑性變形,因此玻璃鞋在承受的力達到一定程度時將會碎掉。


本文主要對灰姑娘對這雙鞋的各種施力情況進行分析,即站立、行走和奔跑,以及玻璃鞋在各種情況下是否有可能完好不碎,並且對各種施力情況下鞋跟的最大安全高度進行了研究。

為了確定灰姑娘穿著水晶鞋移動的能力,首先從站立開始入手,使用的是壓力方程:

其中F是向下的力,相當於她的體重;A是灰姑娘腳丫的表面面積為了計算,首先要對她的體重和腳丫子大小進行假設–假定灰姑娘體重55kg,鞋子穿英國鞋碼4碼(相當於22.5cm)。故事中,灰姑娘的腳丫比她繼母的女兒們要小,根據平均鞋碼為6碼,假設灰姑娘穿4碼應該挺合理。

當站立時,假定鞋子各部分受到的向下的力是平均的,那麼每隻鞋承受的就是一半的體重,另外,灰姑娘腳丫子的表面積約為0.0095㎡,根據方程 1,如果27.5kg的重量平均分佈於這個面積上,那麼壓力σ為28.4kPa。


而鈉鈣玻璃的抗壓強度為330MPa,這個數值遠大於鞋子所受重力,因此,灰姑娘可以放心站著,不用擔心鞋子碎了。

然而,如果灰姑娘想參加舞會,那麼她就得穿著這雙鞋走路,並且12點時還得邁開腳步狂奔。行走和奔跑時,就會出現重量全部落在一隻腳上的情況,而鞋跟首當其衝。假設這些動作會造成鞋跟45度傾斜。為了簡化問題,計算彎曲應力,鞋跟作為懸臂樑,將其設為方形斷面為1cm×1cm的模型。彎曲應力的方程如下:



△圖表1

結合圖1和方程式2,F2 = Fsin45;c為鞋跟自然軸心的垂直距離,即0.5cm;L為鞋跟高度,是個變數;J為二次轉動力矩,矩形可用下面式子進行計算:

鞋跟的底部橫截面(b)及頂部橫截面(h)在此處均為1cm,慣性二次階為1.6×0.1^9m^4。利用方程2計算行走時,鞋跟高度(橫座標)及彎曲應力(縱座標)之間的關係,繪成圖表2如下:

△圖表2


根據標準彎曲測試,鈣鈉玻璃的彎曲強度為42-165MPa,圖表2中的紅色虛線表示鈣鈉玻璃的彎曲強度範圍。因此得出,灰姑娘行走時,玻璃鞋跟高度只能在3.44cm到13.8cm之間。

奔跑時,受速度影響,鞋子受力會是灰姑娘體重的3倍,因此鞋跟受力變大,根據上述方式,繪製出奔跑時,鞋跟高度(橫座標)及彎曲應力(縱座標)之間的關係,繪成圖表3。得出鞋跟高度只能在1.15cm到4.61cm之間。


△圖表3


無論玻璃鞋的鞋跟多高,灰姑娘穿著它都可以站著,鞋跟不會斷;而行走和奔跑時,則不然。為了確保安全,避免鞋跟斷裂,彎曲應力應考慮選用最低值;也就是說為了灰姑娘午夜逃離王子懷抱時,不至於把鞋跟跑碎,水晶鞋的鞋跟高度應該低於1.15cm。這可比童話故事中矮多了。為了計算,文中進行了許多假設,如果要進一步的證明灰姑娘那雙水晶鞋鞋跟的高度,應該對更多不同種類的玻璃進行計算,並且鞋跟的傾斜角度也應該有更全面的分析,這些因素都會對鞋跟的高度造成影響。

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<視界奇觀>編譯整理 資料來源:煎蛋網,文\H. Samaratunga, L. Tonks, H. S. Ahmed and M. Sadhra

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